เมทริกซ์คล้ายกับผกผันหรือไม่?

2024 ผู้เขียน: Miles Stephen | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-15 23:41

แค่คิดถึง 2x2 เมทริกซ์ นั่นคือ คล้ายกับผกผัน โดยไม่มีเส้นทแยงมุมเป็น 1 หรือ -1 เส้นทแยงมุม เมทริกซ์ จะทำ. ดังนั้น A และ ผกผัน ของ A are คล้ายกัน ดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะของพวกมันจึงเหมือนกัน ถ้าค่าลักษณะเฉพาะตัวหนึ่งของ A คือ n ค่าลักษณะเฉพาะของ ผกผันของมัน จะเป็น 1/n

ยังถามอีกว่าเมทริกซ์คล้ายกับทรานสโพสของมันหรือไม่?

สี่เหลี่ยมใดก็ได้ เมทริกซ์ เหนือสนามคือ คล้ายกับทรานสโพส และสี่เหลี่ยมจัตุรัสใดๆ ก็ตาม เมทริกซ์ เป็น คล้ายกัน กลายเป็นคอมเพล็กซ์สมมาตร เมทริกซ์.

เมทริกซ์กลับด้านทั้งหมดเหมือนกันหรือไม่ ถ้า A และ B เป็น คล้ายกัน และ กลับด้าน , จากนั้น A–1 และ B–1 คือ คล้ายกัน . การพิสูจน์. ตั้งแต่ ทั้งหมด NS เมทริกซ์ เป็น กลับด้าน เราสามารถหาค่าผกผันของทั้งสองข้างได้: B–1 = (P–1AP)–1 = P–1A–1(P–1)–1 = P–1A–1P ดังนั้น A–1 และ B–1 จึงเป็น คล้ายกัน . ถ้า A และ B เป็น คล้ายกัน เช่นเดียวกับ Ak และ Bk สำหรับ k = 1, 2, ใดๆ

เกี่ยวกับเรื่องนี้ เมทริกซ์สามารถคล้ายกับตัวมันเองได้หรือไม่?

นั่นคือ อันใด เมทริกซ์ เป็น คล้ายกับตัวเอง : I-1AI=A. ถ้า A คือ คล้ายกัน ถึง B แล้ว B คือ คล้ายกัน ถึง A: ถ้า B=P-1AP แล้ว A=PBP-1=(P-1)-1BP-1 ถ้า A คือ คล้ายกัน ถึง B ผ่าน B=P−1AP และ C คือ คล้ายกัน ถึง B ผ่าน C=Q−1BQ จากนั้น A คือ คล้ายกัน ถึง C: C=Q-1P-1APQ=(PQ)−1APQ.

ถ้าเมทริกซ์คล้ายกันหมายความว่าอย่างไร

ในพีชคณิตเชิงเส้น สอง n-by-n เมทริกซ์ A และ B เรียกว่า คล้ายกัน if มี n-by-n. พลิกกลับได้ เมทริกซ์ พีอย่างนั้น. เมทริกซ์ที่คล้ายกัน แทนแผนที่เชิงเส้นเดียวกันภายใต้ฐานที่แตกต่างกันสองฐาน (อาจ) โดย P คือการเปลี่ยนแปลงของฐาน เมทริกซ์.